中原 『基礎から学ぶ統計学』

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序章 はじめに

1. 統計学の必要性

2. 散らばり（バラツキ）

3. 基本的な用語と概念

①観測値と標本

②母集団

③統計学の目的

④統計学の理論を支える土台

⑤単純無作為標本

4. 本書の2本柱

①平均の比較

②2変数の関係

5. 検定統計量

第Ⅰ部 統計的仮説検定の論理

1章 検定の論理（二項検定を教材として）

1. 例題1：B薬はA薬より有効か？

①例題1.1：18人に効果がある場合

②例題1.2：14人に効果がある場合

③例題の解答

2. 二項分布

①二項係数 nCx

②コブ斜面を降りる

③ゴール2へ降りる確率

④二項分布

⑤二項分布の応用

3. 期待値 E［X］

4. 練習問題 A

5. 二項検定

①STEP1：帰無仮説H0と対立仮説HA

②STEP2：検定統計量

③STEP3：帰無分布

④二項分布の特徴

⑤STEP4：棄却域と有意水準

⑥STEP5：有意差の有無の判断

6. 検定の論理（まとめ）

7. 練習問題 B

2章 検定統計量（Wilcoxon-Mann-Whitney検定を教材として）

1. 例題2：肥料Aと肥料Bの収量に差はあるか？

①栽培実験

②基本的な用語と記号

2. WMW検定の目的

①2つの母集団

②2つの標本

③2つの可能性

3. 検定統計量

4. WMW検定の手順

①帰無仮説H0と対立仮説HA

②ノンパラメトリック統計

③WMW検定の手順

④STEP1：検定統計量Uの計算

⑤Uの定義

⑥STEP 2：Uの臨界値U0.05

⑦STEP3：有意差の有無の判断

5. 練習問題 C

6. 数学者たちに感謝

7. WMW検定の定性的理解

①可能な結果の全て

②検定統計量Uの性質

③帰無分布

④棄却域

8. WMW検定の実践的な技術

①標本サイズnが大きい場合のU1とU2の計算

②タイ（等しい値）がある場合のUの計算

9. WMW検定を発明した自然科学者たち

①Frank Wilcoxon

②Henry Berthold Mann と Donald Ransom Whitney

10. 統計学を学ぶための心がけ

11. WMW検定の手順（まとめ）

12. 練習問題 D

3章 第1種の過誤と第2種の過誤

1. 検定の論理の復習

①二項検定の復習

②説明のスタイル

2. 4つの可能性

3. 第1種の過誤

①帰無仮説H0が間違っているとき

②帰無仮説H0が正しいときの「有意差なし」

③帰無仮説H0が正しいときの「有意差あり（P<0.05）」

④「有意差あり（P<0.05）」の意味

4. 第2種の過誤

①帰無仮説H0が正しいとき

②帰無仮説H0が間違っているときの「有意差あり（P<0.05）」

③帰無仮説H0が間違っているときの「有意差なし」

④第1種の過誤と第2種の過誤の性質の違い

⑤「有意差なし」は帰無仮説H0の証明ではない

5. データの解釈と言葉遣いに、気をつける

①「有意差あり（P<0.05）」のとき

②「有意差なし」のとき

第Ⅱ部 統計学の理論的基礎

4章 平均・分散・標準偏差・自由度

1. 例題4：3つの観測値

2. 母集団と標本

3. 平均

①母平均μ（算術平均）

②母平均μ（期待値）

③標本平均x

④不偏推定量

4. 分散と標準偏差の基礎

①μが既知だと仮定する

②偏差

③平均偏差（偏差を絶対値で正にする）

④分散（偏差を2乗で正にする）

⑤標準偏差

5. 母分散σ 2と母標準偏差σ

①偏差と偏差平方和SS

②母分散σ 2（算術平均）

③母分散σ 2（期待値）

④母標準偏差σ

6. 標本分散s2と標本標準偏差s

①偏差の起点に代役を使う

②偏差平方和SSと自由度df

7. 母数と統計量

①母数

②統計量

8. 自由度dfの概念を確立してきた自然科学者たち

①Friedrich Bessel

②Ronald Aylmer Fisher

9. 自由度df

①制約条件と自由度

②偏差に課された制約条件

③統計学における自由度の意味

10. 標本分散s2 の計算の手順（まとめ）

11. 練習問題 E

5章 正規分布と統計理論の初歩

1. 正規分布

①二項分布から正規分布へ

②確率密度

③母数（パラメータ）

④±σ・± 2 σ・± 3 σの範囲

2. 標準正規分布

①μ =0 でσ =1 の正規分布

②標準正規分布表 ③臨界値 z0.05

3. 練習問題 F

4. 標準化

①標準化の簡単な例題

②標準化の視覚的な理解

③標準化して得たzが従う確率分布

5. 練習問題 G

6. 定理1：標本平均が従う確率分布

①標本平均は散らばりが小さい

②散らばりが小さくなる理由

③標本平均xが従う確率分布

④大数の法則

⑤標本分布と標準誤差

7. 練習問題 H

8. 定理2：中心極限定理

9. 定理3：正規分布の再生性

10. 練習問題 I

11. 定理4：2つの標本平均の差が従う確率分布

12. 練習問題 J

13. 定理（まとめ）

6章 t分布と母平均μの95% 信頼区間

1. 例題6：7つの観測値の背後にいる母平均μは？

2. 母標準偏差σが既知の場合の95% 信頼区間

①前提条件

②標本平均の確率分布

③標本平均の標準化

④σが既知の95% 信頼区間

⑤例題の解答（σが既知の場合）

3. 練習問題 K

4. σをsで代用してみる

①σはsで代用するしかないが

②σをsで代用した標準化

5. Gosset が発明したt分布

①Karl Pearson

②William Sealy Gosset

6. 標準化とStudent 化（まとめ）

7. t分布の定性的理解

①t分布は背が低くて幅が広い

②t分布は標本サイズnによって形が少しずつ変化する

③母数（パラメータ）は自由度df ④臨界値 t0.05（df）

8. 母標準偏差σが未知の場合の95% 信頼区間

①公式の導出

②例題の解答（σが未知の場合）

9. 95% 信頼区間の「95%」の意味

10. 母平均μの95% 信頼区間の手順（まとめ）

11. 練習問題 L

第Ⅲ部 母平均μに対する統計解析

7章 関連2群のt検定（対応のあるt検定）

1. 関連2群（対応のあるデータ）の特徴

①例題7.1：サプリメントの効果

②例題7.2：肥料の効果

2. 対応する2つの観測値の差d

①観測値の差に注目

②2つの可能性

3. 帰無仮説H0と対立仮説HA

①前提条件

②帰無仮説H0と対立仮説HA

4. σ dが既知の場合

①検定統計量と帰無分布

②例題の解答（σ dが既知の場合）

5. 練習問題 M

6. σ dが未知の場合

①検定統計量tと帰無分布

②関連2群のt検定の手順（まとめ）

③例題の解答（σ dが未知の場合）

7. 練習問題 N

8. 検定統計量tの定性的理解（3つの判断基準）

①差dの標本平均の効果

②差dの標本標準偏差の効果

③標本サイズの効果

9. 検定統計量tの性質（まとめ）

8章 独立2群のt検定（対応のないt検定）

1. 独立2群（対応のないデータ）の特徴

①例題8.1：サプリメントの効果

②例題8.2：精神障害

2. 標本平均の差

①2つの可能性

②独立2群のt検定の前提条件

③標本平均の差の確率分布

3. 帰無仮説H0と対立仮説HA

4. σが既知の場合

①検定統計量zと帰無分布

②例題の解答（σが既知の場合）

5. 練習問題 O

6. σが未知の場合

①σの推定（その1）：2つの標本標準偏差

②σの推定（その2）：合算標準偏差sp

③検定統計量tと帰無分布

④独立2群のt検定の手順（まとめ）

⑤例題の解答（σが未知の場合）

7. 練習問題 P

8. 検定統計量tは煩雑

9. 練習問題 Q：Studentのtをシンプルにする

10. 検定統計量tの定性的理解（3つの判断基準）

①標本平均の差

②標本標準偏差

③標本サイズ

11. 検定統計量tの性質（まとめ）

9章 P値

1. 検定の枠組み

2. 2 択だけの判断は不十分

①有意差がない場合

②有意差がある場合

3. P値

①P値の定義

②P値を得たら、まず0.05と比較する

③例題8.1の場合

④「有意差あり」の表記法

⑤「有意差なし」の表記法

10章 一元配置分散分析

1. 一元配置分散分析のデータの特徴

①例題10.1：サプリメントの効果

②例題10.2：ニジマスに与える餌

2. 2つの可能性

3. 一元配置分散分析の前提条件

4. 帰無仮説H0と対立仮説HA

5. 新しい記号：k, N, x

①標本の数（群）k

②観測値の総数Nと総平均x

6. 一元配置分散分析の大まかな流れ

①誤差平均平方（群内分散）MSwithin

②処理平均平方（群間分散）MSbetween

③全平均平方MStotal

④分散分析表

⑤検定統計量F

7. 誤差平均平方（群内分散）MSwithin

①偏差平方和 SSwithin

②自由度 dfwithin

③誤差平均平方（群内分散）MSwithin

8. 練習問題 R

9. 処理平均平方（群間分散）MSbetween

①予備知識の復習

②母分散σ 2の推定

③処理平均平方（群間分散）MSbetween

④偏差平方和SSbetweenと自由度dfbetween

10. 練習問題 S

11. 全平均平方 MStotal

12. 練習問題 T

13. 分散分析表と検定統計量F

14. 検定統計量Fの定性的理解

①分母のMSwithin の役割

②分子のMSbetween の役割

③例題10.1の場合

④F分布と臨界値F0.05

15. 一元配置分散分析の手順（まとめ）

16. 練習問題 U

17. 標本サイズが不揃いのときの計算

11章 多重比較（Bonferroni 補正とTukey-Kramer 法）

1. 多重比較のデータの特徴

①例題11.1：サプリメントの効果

②例題11.2： ニジマスに与える餌

2. アルファベットを使った結果の表示

3. 多重比較の出発点

4. 多重性という課題

①帰無仮説H0が正しいとき

②第1種の過誤と有意水準α

③FWER（全体としての有意水準）

④ライフルで的を狙う

⑤多重性（まとめ）

5. Bonferroni 補正

①Bonferroni補正の方法

②多重比較の欠点

6. Tukey-Kramer法

①Tukey-Kramer法の前提条件

②帰無仮説H0と対立仮説HA

③検定統計量q

7. Tukey–Kramer法の計算

①対戦表

②検定統計量qの分子

③検定統計量qの分母

④検定統計量q

⑤臨界値q0.05（k,dfwithin）

8. Tukey–Kramer法の手順（まとめ）

9. アルファベットの割り当て

①割り当ての方法

②アルファベットの役割（まとめ）

10. 練習問題 V

第Ⅳ部 2 つの変数x とy の間の関係

12章 相関分析

1. 例題12：2 つの変数の関係は？

①例題12.1：かき氷の売上と気温

②例題12.2：ホタルと農薬

2. 新しい記号：（xi, yi）

3. 正の相関と負の相関

4. 強い相関と弱い相関

5. 相関係数rの性質

6. 標本共分散sxy

①偏差の積

②偏差の積の和

③自由度

④共分散の性質（その1）：無相関のとき

⑤共分散の性質（その2）：正の相関があるとき

⑥共分散の性質（その3）：負の相関があるとき

7. 相関係数r

①共分散sxyは単位に依存する

②sxyを標準偏差sxとsyで割る理由

8. 相関係数rの計算

9. 練習問題W

10. 相関の検定

①相関分析の前提条件

②母相関係数ρ

③帰無仮説H0と対立仮説HA

④検定統計量tと帰無分布

⑤例題12.1 の解答

11. より簡便な検定方法

12. 練習問題 X

13. 線形 vs. 非線形（相関係数rの苦手な状況）

14. 対数変換

①実例（その1）：北海道の湖沼

②実例（その2）：ガラパゴス諸島

15. Spearman の順位相関係数

①順位で散布図を描く

②順位相関係数rsの計算

16. 相関は因果関係の証明にはならない

13章 単回帰分析

1. 例題13：他の変数から予測できるか？

①例題13.1：かき氷の売上と気温

②例題13.2：定量実験における基本的な作業

2. 単回帰分析の前提条件

3. 最小2乗法

4. 回帰直線の性質

①回帰直線が通る点

②回帰直線の傾き

5. xとyを逆にしない

6. y-切片aと傾きbの計算

7. 内挿と外挿

8. 決定係数 r2

①全平方和 SStotal

②残差平方和 SSresidual

③回帰平方和 SSregression

④回帰の恒等式

⑤決定係数（その1）：一般的な定義

⑥決定係数（その2）：もう1つの定義

⑦決定係数（その3）：実際の計算方法

9. 練習問題 Y

10. 単回帰分析における検定と推定

①計算に必要な2つの統計量SSxとMSresidual

②傾きbの必要性を確認する検定

③母回帰係数βの95% 信頼区間

④条件付き期待値E［y|x］ の95% 信頼区間（信頼帯）

⑤観測値y の95% 予測区間（予測帯）

付録 解答と付表

解答

付表

索引

Column

片側検定は要注意！

レポートや学術論文、研究につなぐ

期待値を使った母平均μをもう少し詳しく

「不偏分散」という隠語

離散型と連続型の母平均μと母分数σ2の定義

別々の偏差平方和を計算する理由

合算標準偏差spのもう1つの定義式

SSwithinの実際の計算

SSbetweenの実際の計算

SStotalの実際の計算